WordPress のテンプレートタグ[the_tags]は、記事に紐づけられたタグをリンク付きで出力します。
タグは出力したいけれど、そのリンクは不要な場合は、[the_tags]は使わず、代わりに[get_the_tags]を利用し、さらにちょっとした手間をかける必要があります。

具体的なコードは以下。

<?php
$posttags = get_the_tags();
$count = count($posttags);
$loop = 0;
if ($posttags) {
foreach ($posttags as $tag) {
	$loop++;
	if ($count == $loop){
	echo $tag->name . '';
	} else {
	echo $tag->name . ', ';
	}
	}
} ?>

コードの中でループをカウントしていますが、これは最後に出力されたタグの後のカンマを外すためです。

公式の WordPress Codex にもいくつか参考になるコードが紹介されているので、こちらも合わせてご覧ください。

WordPress Codex:http://wpdocs.sourceforge.jp/テンプレートタグ/get_the_tags

また、[タグ]ではなく[カテゴリー]もリンク無しで出力したい場合は以下の記事を参考にどうぞ。

参考:【WordPress】リンク無しのカテゴリーを出力する方法。